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グラフの平行移動について知っていますか?
この記事を読もうとしている方の中には、
「グラフの平行移動の公式を確認したい。」「正の方向に移動するのになぜマイナスが付くの?」
という方もいらっしゃるのではないでしょうか。
この記事では、それらの疑問に答えていきます。下には練習問題も用意しています。

この機会にグラフの平行移動をマスターしましょう!

 

 

グラフの平行移動とは

【公式】グラフの平行移動

グラフの平行移動の公式は、以下の通りです。

 

<グラフの平行移動の公式>
関数 y=f(x) のグラフを x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフの方程式は、
「y−q=f(x−p)」
つまり、
「y=f(x−p)+q」

 

どの関数のグラフや方程式においても、この公式が成り立ちます。

 

【解説】なぜマイナスになる?

公式から分かるように、グラフを x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動するときは、x を x−p 、y を y−q に置き換えます。
ポイントは符号がマイナスになることです。
例えば、点の平行移動の場合は、点 (a, b) を x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動すると点 (a+p, b+q) になります。
しかし、グラフの平行移動の公式ではマイナスが付きます。それはなぜでしょうか?
公式の証明を通して考えてみましょう。

 


関数 y=f(x) のグラフを x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動したとき、元のグラフ y=f(x) 上にある点 (x, y) は、点 (x+p, y+q) に移動しています。
この移動後の点を (X, Y)とすると、
X=x+p…①
Y=y+q…②
①、②より、
x=X−p…③
y=Y−q…④
③、④を y=f(x) に代入して、
Y−q=f(X−p)
よって、Y=f(X−p)+qとなり、グラフの平行移動の公式は成り立ちます。

 

公式の符号がマイナスになるのは、「移動後の座標から移動前の座標を見た」ときの関係性が式に表れるからなのです。

 

 

さまざまなグラフの平行移動

一次関数の平行移動の公式

一次関数 y=ax のグラフを x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフの方程式は、
「y-q=a(x−p)」
つまり、
「y=a(x−p)+q」

 

二次関数の平行移動の公式

二次関数 y=ax² のグラフを x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフの方程式は、
「y-q=a(x−p)²」
つまり、
「y=a(x−p)²+q」

 

二次関数 y=ax²+bx+c のグラフを x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフは、
「y−q=a(x−p)²+b(x−p)+c」
つまり、
「y=a(x−p)²+b(x−p)+c+q」

 

三角関数の平行移動の公式

三角関数 y=a sin kθ のグラフを θ 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフの方程式は、
「y=a sin k(θ−p)+q」

 

円の平行移動の公式

円 x²+y²=r² のグラフを x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフの方程式は、
「(x−p)²+(y−q)²=r²」

 

 

グラフの平行移動の問題

一次関数の平行移動の問題

【問題】
y=3x のグラフを x 軸方向に 4 、y 軸方向に −8 だけ平行移動させたグラフの方程式を求めなさい。また、そのグラフを描きなさい。


<解答>
y=3x のグラフを x 軸方向に 4 、y 軸方向に −8 だけ平行移動させたグラフの方程式は、
y=3(x−4)+(−8)
=3x−12−8
=3x−20
よって、y=3x−20
[x=0のとき、y=20
y=0のとき、x=20/3
したがって、グラフは以下のようになる。]

 

二次関数の平行移動の問題

【問題】
y=1/2x²+3x+13/2 のグラフを x 軸方向に 9 、y 軸方向に −2 だけ平行移動させたグラフの方程式を求めなさい。また、そのグラフを描きなさい。


<解答>
y=1/2x²+3x+13/2 のグラフを x 軸方向に 9 、y 軸方向に −2 だけ平行移動させたグラフの方程式は、
y=1/2(x−9)²+3(x−9)+13/2+(−2)
=1/2(x²−18x+81)+3x−27+9/2
=1/2x²−9x+81/2+3x−27+9/2
=1/2x²−6x+18
よって、y=1/2x²−6x+18
[y=1/2x²−6x+18
=1/2(x²−12x+36)
=1/2(x−6)²
よって、頂点は(6, 0)
x=0のとき、y=18
y=0のとき、x=6
したがって、グラフは以下のようになる。]

 

三角関数の平行移動の問題

【問題】
y=2 sin 2θ のグラフを θ 軸方向に π/2 、y 軸方向に 1 だけ平行移動させたグラフの方程式を求めなさい。また、そのグラフを描きなさい。


<解答>
y=2 sin 2θ のグラフを θ 軸方向に π/2 、y 軸方向に 1 だけ平行移動させたグラフの方程式は、
y=2 sin 2(θ−π/2)+1
[y=2 sin 2θ は y=sin θ のグラフを y 軸方向に 2 倍、θ 軸方向に 1/2 倍したものであり、それを θ 軸方向に π/2 、y 軸方向に 1 だけ平行移動させたグラフは、値域 −1 ≦ y ≦ 3 、周期 π で以下のようになる。]

 

円の平行移動の問題

【問題】
x²+y²=4² のグラフを x 軸方向に 8 、y 軸方向に 6 だけ平行移動させたグラフの方程式を求めなさい。また、そのグラフを描きなさい。


<解答>
x²+y²=16 のグラフを x 軸方向に 8 、y 軸方向に 6 だけ平行移動させたグラフの方程式は、
(x−8)²+(y−6)²=16
[したがって、円の中心は点 (8, 6) 、半径は 4 となり、グラフは以下のようになる。]

 

 

まとめ

いかがでしたでしょうか。グラフの平行移動についてご紹介しました。

公式をしっかりと覚えて、グラフの平行移動をマスターしましょう。


さらにグラフの平行移動を理解するには、個別指導WAMがオススメです。

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ぜひお気軽にご相談ください。

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