グラフの平行移動について知っていますか？
この記事を読もうとしている方の中には、
「グラフの平行移動の公式を確認したい。」「正の方向に移動するのになぜマイナスが付くの？」
という方もいらっしゃるのではないでしょうか。
この記事では、それらの疑問に答えていきます。下には練習問題も用意しています。
この機会にグラフの平行移動をマスターしましょう！
Contents
グラフの平行移動とは
【公式】グラフの平行移動
グラフの平行移動の公式は、以下の通りです。
＜グラフの平行移動の公式＞
関数 y＝f(x) のグラフを x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフの方程式は、
「y−q＝f(x−p)」
つまり、
「y＝f(x−p)+q」
どの関数のグラフや方程式においても、この公式が成り立ちます。
【解説】なぜマイナスになる？
公式から分かるように、グラフを x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動するときは、x を x−p 、y を y−q に置き換えます。
ポイントは符号がマイナスになることです。
例えば、点の平行移動の場合は、点 (a, b) を x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動すると点 (a+p, b+q) になります。
しかし、グラフの平行移動の公式ではマイナスが付きます。それはなぜでしょうか？
公式の証明を通して考えてみましょう。
関数 y＝f(x) のグラフを x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動したとき、元のグラフ y＝f(x) 上にある点 (x, y) は、点 (x+p, y+q) に移動しています。
この移動後の点を (X, Y)とすると、
X＝x+p…①
Y＝y+q…②
①、②より、
x＝X−p…③
y＝Y−q…④
③、④を y＝f(x) に代入して、
Y−q＝f(X−p)
よって、Y＝f(X−p)+qとなり、グラフの平行移動の公式は成り立ちます。
公式の符号がマイナスになるのは、「移動後の座標から移動前の座標を見た」ときの関係性が式に表れるからなのです。
さまざまなグラフの平行移動
一次関数の平行移動の公式
一次関数 y＝ax のグラフを x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフの方程式は、
「y-q＝a(x−p)」
つまり、
「y＝a(x−p)+q」
二次関数の平行移動の公式
二次関数 y＝ax² のグラフを x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフの方程式は、
「y-q＝a(x−p)²」
つまり、
「y＝a(x−p)²+q」
二次関数 y＝ax²+bx+c のグラフを x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフは、
「y−q＝a(x−p)²+b(x−p)+c」
つまり、
「y＝a(x−p)²+b(x−p)+c+q」
三角関数の平行移動の公式
三角関数 y＝a sin kθ のグラフを θ 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフの方程式は、
「y＝a sin k(θ−p)+q」
円の平行移動の公式
円 x²+y²＝r² のグラフを x 軸方向に p 、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフの方程式は、
「(x−p)²+(y−q)²＝r²」
グラフの平行移動の問題
一次関数の平行移動の問題
【問題】
y＝3x のグラフを x 軸方向に 4 、y 軸方向に −8 だけ平行移動させたグラフの方程式を求めなさい。また、そのグラフを描きなさい。
＜解答＞
y＝3x のグラフを x 軸方向に 4 、y 軸方向に −8 だけ平行移動させたグラフの方程式は、
y＝3(x−4)+(−8)
＝3x−12−8
＝3x−20
よって、y＝3x−20
[x＝0のとき、y＝20
y＝0のとき、x＝20/3
したがって、グラフは以下のようになる。]
二次関数の平行移動の問題
【問題】
y＝1/2x²+3x+13/2 のグラフを x 軸方向に 9 、y 軸方向に −2 だけ平行移動させたグラフの方程式を求めなさい。また、そのグラフを描きなさい。
＜解答＞
y＝1/2x²+3x+13/2 のグラフを x 軸方向に 9 、y 軸方向に −2 だけ平行移動させたグラフの方程式は、
y＝1/2(x−9)²+3(x−9)+13/2+(−2)
＝1/2(x²−18x+81)+3x−27+9/2
＝1/2x²−9x+81/2+3x−27+9/2
＝1/2x²−6x+18
よって、y＝1/2x²−6x+18
[y＝1/2x²−6x+18
＝1/2(x²−12x+36)
＝1/2(x−6)²
よって、頂点は(6, 0)
x＝0のとき、y＝18
y＝0のとき、x＝6
したがって、グラフは以下のようになる。]
三角関数の平行移動の問題
【問題】
y＝2 sin 2θ のグラフを θ 軸方向に π/2 、y 軸方向に 1 だけ平行移動させたグラフの方程式を求めなさい。また、そのグラフを描きなさい。
＜解答＞
y＝2 sin 2θ のグラフを θ 軸方向に π/2 、y 軸方向に 1 だけ平行移動させたグラフの方程式は、
y＝2 sin 2(θ−π/2)+1
[y＝2 sin 2θ は y＝sin θ のグラフを y 軸方向に 2 倍、θ 軸方向に 1/2 倍したものであり、それを θ 軸方向に π/2 、y 軸方向に 1 だけ平行移動させたグラフは、値域 −1 ≦ y ≦ 3 、周期 π で以下のようになる。]
円の平行移動の問題
【問題】
x²+y²＝4² のグラフを x 軸方向に 8 、y 軸方向に 6 だけ平行移動させたグラフの方程式を求めなさい。また、そのグラフを描きなさい。
＜解答＞
x²+y²＝16 のグラフを x 軸方向に 8 、y 軸方向に 6 だけ平行移動させたグラフの方程式は、
(x−8)²+(y−6)²＝16
[したがって、円の中心は点 (8, 6) 、半径は 4 となり、グラフは以下のようになる。]
まとめ
いかがでしたでしょうか。グラフの平行移動についてご紹介しました。
公式をしっかりと覚えて、グラフの平行移動をマスターしましょう。
さらにグラフの平行移動を理解するには、個別指導WAMがオススメです。
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