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立体の体積の求め方を知っていますか?
この記事を読もうとしている方の中には、「体積の公式は?」「立体にはどんなものがある?」という方もいらっしゃるのではないでしょうか。
この記事では、それらの疑問に答えていきます。最後には問題も用意しています。

この機会に立体の体積をマスターしましょう!

 

 

立体の種類 

立方体 

「立方体」とは、6つの合同な正方形だけで囲まれた立体のことをいいます。正多面体のひとつであり、正六面体ともいいます。
8つの「頂点」、12本の「辺」、6つの「面」からなります。それぞれの頂点には3つの平面が集まり、すべての辺が同じ長さで、向かい合う面は平行になっており、隣り合う面は直角に交わります。
サイコロ、ルービックキューブ、角砂糖などに立方体が用いられています。

 

直方体 

「直方体」とは、6つの長方形(正方形を含む)だけで囲まれた立体のことをいいます。四角柱のひとつであり、六面体ともいいます。
8つの「頂点」、12本の「辺」、6つの「面」からなります。それぞれの頂点には3つの平面が集まり、向かい合う面はすべて平行になっており、隣り合う面は直角に交わります。すべての面が正方形であるものを特に「立方体」といいます。
直方体は、お菓子のパッケージや消しゴム、建造物などに見ることができます。

 

角柱 

「角柱」とは、2つの合同かつ平行な多角形と、その間の四角形で構成される立体のことをいいます。
角柱の向かい合う2つの合同かつ平行な多角形を「底面」、周りの面を「側面」といい、2つの底面の距離が「高さ」です。柱体のうち、底面が多角形になっているものを角柱といいます。底面が三角形であれば三角柱、四角形であれば四角柱です。
菱餅や将棋の駒、新品の鉛筆などが角柱となっています。

 

円柱 

「円柱」とは、2つの平行な円について、“2つの円の中心を結んだ直線に平行で、かつ2つの円の円周に交わる線分” が描く曲面と、2つの円が囲む立体のことです。
円柱の向かい合う2つの円を「底面」、周りの曲面を「側面」といい、2つの底面の距離が「高さ」です。柱体のうち、底面が円になっているものを円柱といいます。
円柱を底面に平行に切った場合、どこで切っても切り口は円になり、底面と合同な円になります。
円柱は、電柱やコップ、印鑑などに用いられています。

 

角錐 

「角錐」とは、平面上にある多角形の各点と、その平面上にない1つの点を結んでできる立体のことをいいます。
接していない頂点が1つである面を「底面」、周りの面を「側面」といい、底面と向かい合う頂点との距離が「高さ」です。錐体のうち、対面が多角形になっているものを角錐といいます。底面が三角形であれば三角錐、四角形であれば四角錐です。
角錐には、ティーバッグやテント、ピラミッドなどがあります。

 

円錐 

「円錐」とは、平面上にある円について、“円と同じ平面上にない1つの点を通り、円の円周に交わる線分” が描く曲面と、その円が囲む立体のことです。
円を「底面」、周りの曲面を「側面」といい、1つの頂点と円の距離が「高さ」です。錐体のうち、底面が円になっているものを円錐といいます。
パーティークラッカーや漏斗、盛り塩などが円錐です。

 

球 

「球」とは、1つの点から同じ長さになる点の集まりが、空間上で描く図形のことをいいます。
球はどこを切っても切り口は円になります。球を半分に切ったときの円の中心を「球の中心」、半径を「球の半径」、直径を「球の直径」といいます。
ピンポン玉やビー玉、スーパーボールなどが球です。

 

 

体積の求め方 

立方体の体積の求め方 


立方体の体積を V 、一辺の長さを a とするとき、立方体の体積は
「V=a×a×a(一辺×一辺×一辺)
=a³」
で求めることができます。
<立方体の体積の公式>
「V=a³」

 

 

 

 

 

直方体の体積の求め方 


直方体の体積を V 、底面の縦の長さを a 、横の長さを b 、高さを h とするとき、直方体の体積は
「V=a×b×h(縦×横×高さ)
=abh」
で求めることができます。
<直方体の体積の公式>
「V=abh」

 

角柱の体積の求め方 


角柱の体積を V 、低面積を S 、高さを h とするとき、角柱の体積は
「V=S×h(低面積×高さ)
=Sh」
で求めることができます。
<角柱の体積の公式>
「V=Sh」

 

 

 

 

 

 

円柱の体積の求め方 


円柱の体積を V 、底面の円の半径を r 、円周率を π 、高さを h とするとき、円柱の体積は
「V=r×r×π×h(半径×半径×円周率×高さ)
=πr²h」
で求めることができます。
<円柱の体積の公式>
「V=πr²h」

 

 

 

 

角錐の体積の求め方 


角錐の低面積を S 、高さを h とするとき、角錐の体積は
「V=S×h×1/3(低面積×高さ)
=1/3Sh」
で求めることができます。
<角錐の体積の公式>
「V=1/3Sh」

 

 

 

 

 

円錐の体積の求め方 


円錐の体積を V 、底面の円の半径を r 、円周率を π 、高さを h とするとき、円錐の体積は
「V=r×r×π×h×1/3
=1/3πr²h」
で求めることができます。
<円錐の体積の公式>
「V=1/3πr²h」

 

 

 

 

 

球の体積の求め方 


球の体積を V 、半径を r 、円周率を π とするとき、球の体積は
「V=4/3πr³(4/3×円周率×半径の三乗)」
で求めることができます。
<球の体積の公式>
「V=4/3πr³」

 

 

 

 

 

体積の問題 

立方体の体積の問題 

【問題】
一辺が5cmの立方体の体積を求めなさい。

 


<解答>
立方体の体積を V とする。
V=5³
=125
よって、立方体の体積は125cm³

 

 

 

 

 

直方体の体積の問題 

【問題】
底面の縦の長さが3cm、横の長さが6cm、高さが4cmの直方体の体積を求めなさい。


<解答>
直方体の体積を V とする。
V=3×6×4
=72
よって、の体積は72cm³

 

 

 

 

角柱の体積の問題 

【問題】
図のような三角柱と五角柱の体積を求めなさい。



<解答>
三角柱の体積をV₁、五角柱の体積をV₂とする。
V₁=1/2×4×6×10
=120
V₂=(1/2×4×8+1/2×7×4+1/2×3×7.2)×10
=1/2×(32+28+21.6)×10
=5×81.6
=408
よって、三角柱の体積は120cm³、五角柱の体積は408cm³

 

 

 

 

円柱の体積の問題 

【問題】
円周率を π とするとき、半径が3cm、高さ10cmの円柱の体積を求めなさい。

 


<解答>
円柱の体積を V とする。
V=π×3²×10
=90π
よって、円柱の体積は90πcm³

 

 

 

 

 

角錐の体積の問題 

【問題】
図のような三角錐と四角錐の体積を求めなさい。

 


<解答>
三角錐の体積をV₁、四角錐の体積をV₂とする。
V₁=1/3×1/2×4×5×6
=20
V₂=1/3×6×6×9
=108
よって、三角錐の体積は20cm³、四角錐の体積は108cm³

 

 

円錐の体積の問題 

【問題】
円周率を π とするとき、底面の半径が5cm、高さが12cmの円錐の体積を求めなさい。


 

<解答>
円錐の体積を V とする。
V=1/3π×5²×12
=100π
よって、円錐の体積は100πcm³

 

 

 

 

球の体積の問題 

【問題】
円周率を π とするとき、半径が3cmの球の体積を求めなさい。

 


<解答>
V=4/3π×3³
=4π×9
=36π
よって、球の体積は36πcm³

 

 

 

 

まとめ 

いかがでしたでしょうか。各立体の性質と、その体積の求め方についてご紹介しました。

体積は「低面積×高さ」が基本形ですが、錐体は3で割るという特徴があります。公式を覚えて、立体の体積をマスターしましょう。

 

さらに体積の求め方を理解するには、個別指導WAMがオススメです。

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ぜひお気軽にご相談ください。

 

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