球の体積の求め方を知っていますか？
この記事を読もうとしている方の中には、「球の体積の公式は？」「円とは違うの？」「そもそも体積って何？」という方もいらっしゃるのではないでしょうか。
この記事では、それらの疑問に答えていきます。
最後には問題も用意しています。この機会に球の体積をマスターしましょう！
Contents
円と球の違い
円とは
「円」とは、平面上で、1つの点から同じ長さになるように描いた丸い形のことです。 コンパスで描いたような丸い形で、円の真ん中の点（コンパスの針を刺した部分）を「円の中心」、中心と円の周り（円周）を結ぶ直線を「半径」といいます。円周から円周まで引いた直線のうち、中心を通るものを「直径」といい、これが円の内部にある直線の中で最も長くなります。
中心から同じ距離にある点の集まりが円であるため、同じ円の半径・直径の長さは常に同じです。 円は時計やCD・DVD、道路の標識などに用いられています。
球とは
「球」とは、空間において、1つの点から同じ長さになる点の集まりをいいます。円は平面図形ですが、球は立体図形です。 球は、どこで切っても切り口が円になります。球を半分に切ったときの切り口が一番大きな切り口です。円と区別するため、球を半分に切ったときの円の中心を「球の中心」、半径を「球の半径」、直径を「球の直径」といいます。 テニスボールやビー玉、シャボン玉などが球となっています。
体積とは
体積とは
「体積」とは、立体の嵩（かさ）のことをいいます。空間においてその物体が占めている場所の大きさのことで、中身が詰まっているものの大きさ、ともいえます。単位は、「cm³（立方センチメートル）」「m³（立方メートル）」「l（リットル）」などになります。
体積は、容器の容量を表す「容積」とは異なります。容積は、その物体にどのくらい入るかという量のことで、単位は「cc（シーシー）」「ml（ミリリットル）」「l（リットル）」などになります。
球の体積の公式
球の体積の公式
球の体積を V 、半径を r 、円周率を π としたとき、球の体積は 「V＝4/3πr³（4/3×円周率×半径の三乗）」 で求めることができます。 V は “volume（体積）” 、r は “radius（半径）” の頭文字です。 ＜球の体積の公式＞ 「V＝4/3πr³」 分数や累乗があり、少しややこしいですね。 そこで、「身の上に心配アール三乗」という語呂合わせがあります。 “ 身(3) ” の上に “ 心配アール三乗(4πr³) ” です。公式が覚えられない方は語呂合わせで覚えましょう。
円錐・円柱との関係から求める
球の体積は、円柱・円錐の体積との間に独特な関係性があります。これを覚えておくと、公式を忘れても体積を導き出すことができます。
それはまず、その球がぴったり収まる円柱、つまり「球の直径」の長さを「底面の直径」「高さ」とする円柱の体積は、その球の体積の3/2になるということです。逆にいえば、同条件において、球の体積は円柱の体積の2/3ということになります。
同様に、「球の直径」の長さを「底面の直径」「高さ」とする円錐の体積は、球の体積の半分となり、円柱の体積の1/3となります。
つまり、下の図のような円錐・球・円柱には、「円錐の体積 : 球の体積 : 円柱の体積＝1 : 2 : 3」という特徴があります。
ここで、球の体積をV₁、円柱の体積をV₂、球の半径を r 、円周率を π としたとき、 この場合の円柱の体積（V₂）は、 V₂＝r×r×π×2r（半径×半径×円周率×高さ） ＝2πr³ 先ほどの特徴を活用すると、球の体積（V₁）は V₁＝V₂×2/3 ＝2πr³×2/3 ＝4/3πr³ となり、円柱の体積から球の体積の公式を導くことができました。
球の体積の問題
問題①
【問題①】
半径6cmの球の体積を求めなさい。
＜解答＞
半径 r の球の体積 V は
V＝4/3πr³
r＝6(cm)より、
V＝4/3π×6×6×6
＝288π(cm³)
よって、体積は288πcm³
問題②
【問題②】
底面の半径が6cm、高さが10cmの円柱状の水槽に、高さ7cmまで水が入っている。この水槽に半径が9/2cmの鉄球を入れたとき、水槽からあふれる水の量を求めなさい。
＜解答＞
鉄球の体積をV₁、水槽の水が入っていない部分の体積をV₂とする。
V₁＝4/3π×(9/2)³
＝π×3×9×9/2
＝243/2π(cm³)
V₂＝6×6×π×(10－7)
＝108π(cm³)
鉄球の体積から、水槽の水が入っていない部分の体積を引いて
V₁－V₂＝243/2π－108π＝27/2π(cm³)よって、水槽からあふれる水の量は27/2πcm³
まとめ
いかがでしたでしょうか。
円と球の違い、球の体積についてご紹介しました。
球の体積には、球がちょうどぴったり入る大きさの円柱の体積の2/3になるという性質もあり、覚えておくと便利です。公式を覚えて、球の体積をマスターしましょう。
さらに球の体積の公式を使いこなすには、個別指導WAMがオススメです。
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