今回は「不等式」について、その性質や解き方を解説したいと思います。
不等式といっても、絶対値の不等式や連立不等式絶対値の不等式など様々な単元があります。
今回の記事では一次不等式を使用した基本の解説になりますので、まずはここをしっかりと押さえるようにしてくださいね。
Contents
不等式とは
不等式とは、数の大小関係を示す「不等号」（＞・＜・≧・≦）を用い表した式のことです。不等式の左側を左辺、右側を右辺といい、左辺と右辺を合わせて両辺といいます。
『左辺の項を右辺に移項する』といった言い方は不等式だけでなく方程式などでもされています。基本中の基本なので覚えておきましょう。
与えられた不等式の条件を満たすxの範囲を求めることを「不等式を解く」と言います。
文章問題などで式を立てる場合は、不等号の使い方にも注意するようにしましょう。
不等号の詳細については下記で詳しく解説していますので、参考にしてみてください。
不等式の基本性質
不等式を解くにあたり、不等式の4つの基本性質をしっかりと理解しておく必要があります。
特に気をつけなければならないのは、負の数をかけたり割ったりすると不等号の向きが変わることです。
では、次で詳しく見てみましょう。
不等式の性質①
これは『AがBより小さく、BがCより小さいならば、AはCより小さい』という性質です。つまり、『A＜B＜CなのでA＜C』ということですね。この性質のことを「不等式の推移律」といいます。基本的なことなので、しっかりと理解しておきましょう。
不等式の性質②
これは、『両辺に同じ数を足しても／両辺から同じ数を引いても、不等号の向きは変わらない』ことを示した性質です。つまり、不等式の両辺には同じ数であれば足したり引いたりしてもいい、ということを指します。
この性質により、不等式を解く際に移項することが可能となります。
例 3x+2＞20
3x＞20-2
3x＞18
不等式の性質③
これは、『Cが正の数であれば、両辺に同じ数を掛けても割っても、不等号の向きは変わらない』ことを示した性質です。
つまり、正の数であれば不等式の両辺に同じ数を掛けても割ってもいい、ということを指します。
例
5＞3
という式の両辺に〈5〉を掛ける
25＞15
大小関係は変わらない
不等式の性質④
これは、『Cが負の数の場合、両辺に同じ数を掛けたり割ったりすると、不等号の向きが変わる』ことを示した性質です。
例
5＞3
という式の両辺に〈-5〉を掛ける
-25＜-15
正負が逆転するので大小関係が変わる
この性質は不等式の単元において重要なポイントとなりますので、しっかりと覚えておきましょう。
問題と解説
不等式の性質について押さえたところで、実際に問題を解いてみましょう。ここでは、不等式の基本となる一次不等式から出題したいと思います。
問題①
-6x＞36
A.x＜-6
【解説】
-6x＞36・・・両辺を-6で割る
x＜-6・・・不等式の性質④により不等号が逆転
★不等号があっているか確認したい場合はxに0などの数値を代入してみましょう。
・不等号を逆転しなかった場合
-6×0＞36
0 ＞36
0が36より大きいことになるので間違い
・不等号を逆転した場合
-6×0＜36
0＜36
0は36より小さいので正しい
※この方法はほかの不等式でも使用できます。
問題②
3x+2＜29
A．x＜9
【解説】
3x+2＜29
3x＜29-2・・・2を移項する
3x＜27・・・両辺を3で割る
x＜9
問題③
x+4＜3x-8
A. x ＞ 6
【解説】
x+4＜3x-8
x-3x＜-8-4・・・左辺にx、右辺に数字となるよう移項する
-2x＜-12・・・両辺を-2で割る
x＞6・・・不等式の性質④により不等号が逆転
問題④
8(x-4)≦-3(2x+6)
A. x≦0
【解説】
8(x-4)≦-3(2x+6)・・・展開する
8x-32≦-6x-18・・・左辺にx、右辺に数字となるよう移項する
8x+6x≦-18+32
14x≦14・・・両辺を14で割る
x≦0
問題⑤
A君は母の日のプレゼントとして、1本150円のカスミソウを2本と1本200円のカーネーションをいくつか買うことにしました。A君の所持金が1,500円の時、カーネーションは最大で何本買うことができるでしょうか。
A.6本
【解説】
（150×2）+200x≦1500
200x≦1500-300
200x≦1200
x≦6
A君は最大で6本買うことができる
まとめ
いかがでしたか？
不等式の解き方は基本的には方程式の解き方と同じです。負の数の掛け算・割り算をおこなった時だけ不等号が逆転するということに注意して、丁寧に解くようにしましょう。
「一人では理解できたか不安…」「応用や連立不等式についても詳しく聞きたい」といった方は是非一度個別指導WAMへご相談ください。一人ひとりのお悩みにあった指導を行い、内容理解へのお手伝いをさせていただきます。
