皆さんは「式の展開」をしっかり理解できていますか？
「式の展開」は、中学1年生のはじめの方から出てきて、中学・高校の数学の基礎であり、計算以外にも関数や図形問題にも必要な部分です。
今回は「式の展開」について説明していきます。
学校で習ったけどあまり理解できていない人や苦手意識がある人は、ぜひ一度この記事を読んで、勉強の参考にしてみてください。
Contents
式の展開とは？
「式の展開」とは、演算して答えを求める「計算」とは異なり、かっこを外して（展開して）もっとも簡単な答えになるまで整理することです。数学の「展開」とは、整式の積を単項式の和で表すことで、単項式と多項式を合わせて整式といいます。単項式は、数や文字の積（掛け算）だけで表す式のことであり、『2xy』や『x』、『1』などは単項式となります。多項式とは、単項式の和で表す式のことで、『2x＋y＋1』は多項式となります。多項式中の文字が同じ項を同類項といい、『2x+3x+1』だと『2x』と『3x』が同類項となります。この同類項はまとめる必要があり、まとめると『5x+1』ですね。
分配法則
分配法則とは、かっこ全体に掛けてある数をかっこの内側の項すべてに掛けることであり、『×(掛ける)』が省略されています。いくつか例を見ていきましょう。
① 2(x + 3) この場合は、2はかっこの内側の『x』と『3』の両方に掛ける必要があります。 2(x + 3) ＝ 2 × x + 2 × 3 ＝ 2x + 6
② -2(x + 3) ①の問題の『2』に符号『-』をつけた『-2』となっています。この場合、符号をつけたまま1つずつ掛ける必要があります。 -2(x + 3) ＝ (-2) × x + (-2) × 3 ＝ -2x - 6
③ (x + 3)(x + 2) この場合は、かっこ全体に掛けてある数をかっこの内側の項すべてに掛ける必要があるため (x + 3)(x + 2) ＝ x × x + x × 2 + 3 × x + 3 × 2 ＝ x² + 2x + 3x + 6 となりますが、ここで終わりではありません。この場合、『2x』と『3x』が同類項となっており、この同類項はまとめる必要があります。
(x + 3)(x + 2) ＝ x × x + x × 2 + 3 × x + 3 × 2 ＝ x² + 2x + 3x + 6 ＝ x² + (2 + 3) x + 6 ＝ x² + 5x + 6
ここまでできて正解となります。
3つの公式
中学3年生で習う公式が3つあります。この公式は、今後の学習に出てくる因数分解や2次方程式に必要になってくるため、必ず覚えるようにしましょう。公式を覚えていなくても、分配法則を使って展開することはできますが、公式を使った方が素早く展開できると時間のロスを減らすことができます。
①(x + a)(x + b) = x² +(a + b)x + ab
1つめの公式は、上の例③を使って解説していきます。
分配法則を使って展開すると (x + 3)(x + 2) ＝ x × x + x × 2 + 3 × x + 3 × 2 ＝ x² + 2x + 3x + 6 ＝ x² + (2 + 3)x + 6 ＝ x² + 5x + 6
となりましたね？
これを公式を使って展開すると
(x + 3)(x + 2) ＝ x² + (3 + 2)x + 6
＝ x² + 5x + 6
となり、手順が短くなりましたね。
この公式は、かっこの中の前の項が同じ場合に使うことができます。前の項『x』を2乗し、後ろの項『3』と『2』を足して前の項『x』を1つかけて、後ろの項『3』と『2』を掛けます。
後ろの項をそれぞれ『ａ』と『ｂ』に置き換えると
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab という公式ができます。
②(x + a)² = x² + 2ax + a²
2つ目の公式を①の公式を使って見ていきましょう。
(x + 3)² ＝ (x + 3) × (x + 3)
＝ x² + (3 + 3)x + 9
＝ x² + 6x + 9
となります。2乗の場合、後ろの項『3』が同じになるため、前の項『x』を2乗し、後ろの項は2倍にして『x』を1つかけて、後ろの項『3』を2乗します。
後ろの項を『ａ』に置き換えると
(x + a)² = x² + 2ax + a² という公式ができます。
③(x + a)(x – a)= x² – a²
3つ目の公式も①の公式を使って見ていきましょう。
(x + 3)(x - 3) ＝ ｘ² +(3 - 3)ｘ + 3 × (-3) ＝ ｘ² - 9 となります。かっこの前の項が同じで、後ろの項が符号違いの場合、前の項『ｘ』を2乗して、中央の項は『+3』と『-3』の足し算なので『0』となり消えてしまいます。
後ろの項を『ａ』に置き換えると
(x + a)(x – a) = x² – a² という公式ができます。
練習問題に挑戦しよう！
《問題》次の式を展開しなさい。
⑴ (ｘ + 5)(ｘ + 3)
⑵ (2ｘ + 2)(2ｘ + 5)
《答え》
⑴ (ｘ + 5)(ｘ + 3) ＝ ｘ² +(5 + 3)ｘ + 15
＝ ｘ² + 8ｘ + 15
⑵ (2ｘ + 2)(2ｘ + 5) ＝ (2ｘ)² +(2 + 5) × 2ｘ+ 10
＝ 4ｘ² + 14ｘ + 10
※ｘに係数が付いている場合は、必ず係数も計算が必要です。
《問題》次の式を展開しなさい。
⑶ (ｘ + 6)²
⑷ (2ｘ – 3)²
⑸ (3ｘ + ｙ)²
《答え》
⑶ (ｘ + 6)² ＝ ｘ² + 12ｘ + 36
⑷ (2ｘ - 3)² ＝ (2ｘ)² - 6ｘ × 2 + 9 ＝ 4ｘ² - 12ｘ + 9 ⑸ (3ｘ + ｙ)² ＝ (3ｘ)² + 3ｘｙ × 2 + ｙ² ＝ 9ｘ² + 6ｘｙ +ｙ²
《問題》次の式を展開しなさい。
⑹ (ｘ + 6)(ｘ – 6)
⑺ (2ｘ + 5)(2ｘ – 5)
⑻ (3ｘ + 4ｙ)(3ｘ – 4ｙ)
《答え》
⑹ (ｘ + 6)(ｘ – 6) ＝ ｘ² – 36
⑺ (2ｘ + 5)(2ｘ – 5) ＝ 4ｘ² – 25
⑻ (3ｘ + 4ｙ)(3ｘ – 4ｙ) ＝ 9ｘ² – 16ｙ²
《応用》
(ｘ ＋ ｙ + 5)(ｘ + ｙ – 2)
この式を展開する場合、『ｘ + ｙ』が共通となっているので
ｘ + ｙ ＝ Ａ とします。
(Ａ + 5)(Ａ – 2) ＝ Ａ² + 3Ａ -10
ここでＡ＝ ｘ + ｙを元に戻すと
(ｘ + ｙ)² + 3(ｘ + ｙ) – 10
＝ｘ² + 2ｘｙ + ｙ² + 3ｘ + 3ｙ -10
となります。上の公式①と②を使って解いています。
まとめ
いかがでしたか？「式の展開」は今後の数学の勉強に必要となってくるため、分配法則の方法やルール、公式はしっかりと覚えておきましょう。公式を忘れても分配法則を使って展開はできますが、公式を使って時間のロスを減らすことが大切です。
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