円柱とは？体積や表面積の公式を使った求め方

こんにちは！個別指導WAMです(^^)
今回は、【円柱とは？体積や表面積の公式を使った求め方】についてお話します。

皆さんは図形問題に苦手意識はありませんか？
授業で公式を説明してもらったけど、よく分からない。
そんな人もいるのではないでしょうか？
ここでは円柱の体積や表面積を求める公式について紹介していきまので、ぜひ最後まで読んでみてください！

Contents

1 円柱とは？円錐や角柱との違い
2 公式を使って円柱の体積を求める
3 公式を使って円柱の表面積を求める
4 公式を使わずに円柱の表面積を求める
5 円柱に関連する公式
6 まとめ

円柱とは？円錐や角柱との違い

まず円柱について説明していきます。

円柱とは、底が円の形をしている筒状の立体のことです。底面となる2つの円は同じ形をしており、平行になっています。展開すると、同じ形の円が2つと四角形1つになります。

円錐とは、底が円の形をした錘状にとがった形をした立体です。円柱とは異なり、底面が1つしかありません。円柱と円錐を真上から見ると同じ円形に見えますが、真横から見ると円錐は三角形に見えるのが特徴です。展開すると、円と扇形が1つずつになります。

角柱とは、同じ多角形を底面とした柱体のことを指し、2つの底面は同じ形をしており平行です。底面が三角形なら三角柱、四角形なら四角柱となります。

底面とは、上でも少し触れましたが円柱や角柱の上下の面ことを指し、円柱と角柱では上下2つ、円錐では下のみとなっています。底面が2つの場合は、2つの底面は同じ形をしており平行です。側面とは底面以外のまわりの面を指します。母線は立体図形の側面をつくる線のことで、円柱や角柱の母線の長さはそれらの図形の高さに等しく、円錐では展開してできる扇形の半径に等しくなります。

円柱には直円柱と斜円柱があり、母線が底面に垂直な円柱を直円柱といい、そうでない円柱を斜円柱といいます。

公式を使って円柱の体積を求める

それでは、円柱の体積の求める公式を説明していきましょう。
円柱の体積(V)=πｒ²ｈ→円柱の体積(V)＝底面の円の面積(πｒ²)×高さ(ｈ)→底面の円の面積＝半径(ｒ)×半径(ｒ)×円周率(π)　となります。

もっと詳しく見ていきましょう。
円柱の体積は、底面積×高さ　で求めることができます。
円柱の底面は円の形をしているので、円の半径をｒとします。そうすると底面積は、半径×半径×π　となるので、ｒ×ｒ×π＝πｒ²　となります。

この時の円柱の高さをｈとすると、円柱の体積は、底面積×高さなので、πｒ²×ｈ＝πｒ²ｈ　となりますね！

☆簡単な数字を入れて計算してみましょう。
底面の円の半径を3㎝、円柱の高さを10㎝とすると、この円柱の体積は
Ｖ＝3×3×π×10＝90π　となります。

このように公式を知っておくと、簡単に体積を求めることができますね！

公式を使って円柱の表面積を求める

次は、円柱の表面積を求める公式を見ていきましょう。
円柱の表面積＝2πｒ²＋2πｒｈ　となります。
円柱の表面積を求めるには、展開図にして考える必要があります。円柱を展開図にすると、同じ形の円が2つと四角形が1つになりますね。つまり、「底面の円の面積2つ」と「側面の四角形の面積」を足すことで円柱の表面積を求めることができます。

もっと詳しく説明していきます。
円柱の底面は円の形をしているので、円の半径をｒとします。そうすると底面積は、半径×半径×π　となるので、ｒ×ｒ×π＝πｒ²　となり底面は2つあるので、πｒ²×2＝2πｒ²　となります。

底面の円周と側面の四角形の横の長さが等しいことから、側面の四角形の面積は、底面の円周×高さ　で求めることができます。
底面の円周＝直径(2r)×円周率(π)なので、2πｒ　となります。
この時の円柱の高さをｈとすると、側面の四角形の表面積は、2πｒ×ｈ＝2πｒｈ　と求められます。

よって円柱の表面積＝底面の円の面積×2＋側面の四角形の面積＝2πr2＋2πrh　となり公式と同じになりましたね！

☆簡単な数字を入れて計算してみましょう。
底面の円の半径を3㎝、円柱の高さが10㎝とすると、この円柱の表面積は
円柱の表面積＝2×π×3×3+2×π×3×10＝18π＋60π＝78π　となります。

円柱の表面積も、公式を覚えておくと簡単に求めることができますね！