教室ブログ

2018.11.24

黄金の比率③~1:1.618の起源①~

こんにちは。

個別指導Wam曽野木校の小島です。

 

今回は、中学3年生で習う2次方程式の知識を使い、1:1.618という数字の起源をさぐってみましょう。

 

なお、今回の話の中には数学的な厳密性を欠いている部分があります。

あらかじめご了承ください。

 

スタートは、前回お話した黄金長方形です。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

長方形の辺にそれぞれ番号を振ってみました。

 

上の画像の通り、この辺には

 

 

 

 

 

 

 

 

という関係が成り立っています。

 

ここで、連続した番号の辺同士の比がどれも同じになると仮定して、その比をxとおいてみましょう。

つまりこういうことです。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

長いほうを短いほうで割ると、どれもxという値になると仮定します。

 

さて、この辺の比の関係から、

①=1

とすると、

②=x

③=(xの2乗)

となります。

 

一番目と二番目の辺の長さを足すと、三番目の辺の長さになるという関係(①+②=③)と合わせて、下の式のようにxを求めることができます。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

辺同士の比xは、どうやら無理数になるようです。

 

この値がどのくらいになるのか、電卓で計算してみましょう。

 

 

 

 

 

 

 

 

というわけで、1.618という値を導出することができました。

 

次回は、高校で習う漸化式と極限を用いて、1.618を導出してみましょう。

 

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